{"id":8541,"date":"2021-05-25T10:30:28","date_gmt":"2021-05-25T13:30:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/?p=8541"},"modified":"2023-10-26T15:22:56","modified_gmt":"2023-10-26T18:22:56","slug":"sequencias-e-progressao-aritimetica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/enem\/sequencias-e-progressao-aritimetica","title":{"rendered":"APRENDA SEQU\u00caNCIAS E PROGRESS\u00c3O ARITM\u00c9TICA DE UMA VEZ"},"content":{"rendered":"

Salve, salve, galerinha linda do EXQUAD! O tema de hoje do nosso blog \u00e9 sequ\u00eancias e progress\u00e3o aritm\u00e9tica<\/strong>. Quer aprender de vez este assunto? Ent\u00e3o cola gente que \u00e9 sucesso, bbs!<\/p>\n

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Ent\u00e3o, chuchus, uma sequ\u00eancia pode ser definida na Matem\u00e1tica como uma fun\u00e7\u00e3o em que seu dom\u00ednio \u00e9 o conjunto N*, dos naturais n\u00e3o nulos. Voc\u00eas devem estar se perguntando: Como assim, teacher?<\/p>\n

 <\/p>\n

\"calculando\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Calma, maravilhoses! Veja um exemplo que vai nos ajudar a entender essa ideia:<\/p>\n

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Voc\u00eas acompanharam o Campeonato Brasileiro do ano passado? Pois bem, quem acompanhou deve lembrar pelo menos a classifica\u00e7\u00e3o final dos primeiros colocados, n\u00e3o \u00e9 mesmo?<\/p>\n

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\"brasileiro\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Essa foi a classifica\u00e7\u00e3o final para os 10 primeiros colocados. Ent\u00e3o, essa classifica\u00e7\u00e3o \u00e9 um exemplo de uma sequ\u00eancia. Cada um dos times est\u00e1 associado a uma posi\u00e7\u00e3o que \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo. Observe ainda que n\u00e3o podemos alterar as posi\u00e7\u00f5es desses times, sem alterar a classifica\u00e7\u00e3o. Por exemplo, se troc\u00e1ssemos a posi\u00e7\u00e3o do Flamengo com o Internacional, o Flamengo deixaria de ter sido o campe\u00e3o e quem assumiria esse posto seria o time colorado.<\/p>\n

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\"outro-patamar\"<\/p>\n

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Pensando assim, podemos dizer que o primeiro termo dessa sequ\u00eancia, que simbolizaremos por a1<\/sub>, ser\u00e1 o Flamengo, o segundo termo, a2<\/sub>, ser\u00e1 o Internacional, o terceiro termo, a3<\/sub>, ser\u00e1 o Atl\u00e9tico Mineiro, e assim sucessivamente. Vejam que simbolizamos um termo de uma sequ\u00eancia deixando expl\u00edcita a sua posi\u00e7\u00e3o dentro da sequ\u00eancia, ou seja, o termo que ocupa a posi\u00e7\u00e3o n ser\u00e1 representado por an<\/sub>.<\/p>\n

 <\/p>\n

Bem, mas vamos deixar um pouco o futebol de lado e vamos pensar de um modo mais amplo. As sequ\u00eancias podem surgir nas mais diversas situa\u00e7\u00f5es e seus termos n\u00e3o precisam necessariamente ser n\u00fameros. No exemplo da classifica\u00e7\u00e3o do Brasileir\u00e3o 2020, os termos da sequ\u00eancia s\u00e3o times de futebol.<\/p>\n

 <\/p>\n

Entretanto, as sequ\u00eancias num\u00e9ricas s\u00e3o as mais frequentemente utilizadas em provas, vestibulares, bem como no ENEM. Entre essas sequ\u00eancias num\u00e9ricas, duas se destacam: as progress\u00f5es aritm\u00e9ticas (PA) e as progress\u00f5es geom\u00e9tricas (PG).<\/p>\n

 <\/p>\n

As progress\u00f5es aritm\u00e9ticas s\u00e3o sequ\u00eancias num\u00e9ricas em que cada termo, a partir do segundo, \u00e9 o resultado do termo anterior somado ou subtra\u00eddo de um mesmo n\u00famero, que chamaremos de raz\u00e3o<\/strong>, simbolizada por r<\/strong>. Por exemplo:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"progressoes\"<\/p>\n

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Essas tr\u00eas sequ\u00eancias s\u00e3o progress\u00f5es aritm\u00e9ticas, pois cada termo seguinte \u00e9 o anterior somado ou subtra\u00eddo de um mesmo n\u00famero. Na sequ\u00eancia A, o n\u00famero somado \u00e9 3. Portanto, dizemos que a raz\u00e3o da sequ\u00eancia A \u00e9 r = 3. Na sequ\u00eancia B, o n\u00famero subtra\u00eddo. Desse modo, dizemos que a raz\u00e3o da sequ\u00eancia B \u00e9 r = \u2013 5. J\u00e1 a sequ\u00eancia C \u00e9 constante. Sendo assim, podemos dizer que estamos somando 0 (zero) sucessivamente. Ent\u00e3o a sequ\u00eancia C tem raz\u00e3o r = 0.<\/p>\n

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Essa raz\u00e3o pode ser calculada subtraindo qualquer termo do seu termo anterior. Assim, a raz\u00e3o da sequ\u00eancia A, pode ser calculado como 5 \u2013 2, ou 8 \u2013 5, ou ainda 11 \u2013 8 e assim por diante.<\/p>\n

 <\/p>\n

O importante \u00e9 perceber que, independentemente de qual seja a progress\u00e3o aritm\u00e9tica, ela sempre ter\u00e1 raz\u00e3o! Assim, nunca queira discutir com ela! \ud83d\ude02 \ud83d\ude02 \ud83d\ude02<\/p>\n

 <\/p>\n

\"razao\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Passada a sess\u00e3o de piadas nerds, vamos seguir em frente! Um t\u00f3pico que \u00e9 de extrema relev\u00e2ncia para o estudo das progress\u00f5es aritm\u00e9ticas \u00e9 o que chamamos de termo geral de uma PA. O termo geral de uma PA \u00e9 uma rela\u00e7\u00e3o de qualquer termo dessa PA com o primeiro termo a1<\/sub> e sua raz\u00e3o r. Nas progress\u00f5es aritm\u00e9ticas, o termo geral, representado por an<\/sub>, \u00e9 dado por:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"aritm\u00e9ticas\"<\/p>\n

Esse termo geral tem diversas utilidades em problemas de PA: calcular um termo da sequ\u00eancia, calcular a quantidade de termos, calcular a posi\u00e7\u00e3o de um termo, calcular a raz\u00e3o.<\/p>\n

 <\/p>\n

Vamos a um exemplo pr\u00e1tico, bb? Voc\u00ea j\u00e1 tentou construir um castelo de cartas? \u00c9 um neg\u00f3cio um pouquinho complicado, mas o visual fica bem legal depois de feito.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"fileiras-cartas\"<\/p>\n

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A 1\u00aa fileira do castelo tem 3 cartas (perceba que tem uma na base que apoia as duas de cima), a 2\u00aa fileira tem 6 cartas, a 3\u00aa fileira tem 9 cartas e a 4\u00aa fileira teria 12 cartas, mas, pelo fato de n\u00e3o haver necessidade de cartas na fileira mais abaixo, essa \u00faltima ter\u00e1 4 cartas a menos, sendo formada somente por 12 \u2013 4 = 8 cartas.<\/p>\n

 <\/p>\n

Se continu\u00e1ssemos formando castelos maiores, com mais e mais fileiras, a quantidade de cartas em cada uma das fileiras formaria a PA (3, 6, 9, 12, 15, …).<\/p>\n

 <\/p>\n

O termo geral da PA entra exatamente a\u00ed. Se pud\u00e9ssemos construir um castelo de cartas com a quantidade de fileiras que quis\u00e9ssemos, quantas cartas teria a n\u00aa fileira? A PA formada tem a1<\/sub> = 3 e raz\u00e3o tamb\u00e9m igual a 3. Assim:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"quantidade\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Lembrem-se de que, se n\u00e3o colocarmos cartas na base desse castelo, a \u00faltima fileira ter\u00e1 n cartas a menos.<\/p>\n

 <\/p>\n

Mas esse exemplo at\u00e9 que foi relativamente f\u00e1cil, j\u00e1 que todos os termos da PA s\u00e3o m\u00faltiplos de 3. Mas e se isso n\u00e3o ocorrer? Por exemplo, qual ser\u00e1 o termo geral da PA (50, 54, 58, 62, …)?<\/p>\n

 <\/p>\n

Nesse novo exemplo, temos uma PA com a1<\/sub> = 50 e r = 4. Assim, o termo geral ser\u00e1:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"termo-geral\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Dessa maneira, podemos descobrir qualquer termo dessa PA, apenas sabendo a sua posi\u00e7\u00e3o n. Por exemplo, o 50\u00ba termo ser\u00e1 a50<\/sub> = 4 . 50 + 46 = 200 + 46 = 246. Legal, n\u00e3o \u00e9 mesmo? \ud83d\udc4d<\/p>\n

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Agora vamos dificultar as coisas! E qual ser\u00e1 a soma de todos esses 50 primeiros termos?<\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"ajuda-jesus\"<\/p>\n

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Calma, vestibulandes! Essa o menino Gauss resolveu quando tinha apenas 10 anos. Para quem n\u00e3o sabe, Carl Friedrich Gauss (1777\u20131855) foi um matem\u00e1tico, f\u00edsico e astr\u00f4nomo alem\u00e3o. Considerado um dos maiores matem\u00e1ticos da hist\u00f3ria. Ele foi desafiado pela sua professora a calcular a soma de todos os n\u00fameros naturais de 1 at\u00e9 100. Na \u00e9poca ele tinha apenas 10 anos.<\/p>\n

 <\/p>\n

Para surpresa da professora, em poucos segundos Gauss deu a resposta: 5050. Mas como ele fez essa conta com tamanha rapidez? Usando uma calculadora? Claro que n\u00e3o, n\u00e9!?<\/p>\n

 <\/p>\n

Ele fez o seguinte: somando 1 + 100, obtemos 101; somando 2 + 99, obtemos 101; somando 3 + 98, tamb\u00e9m obtemos 101; seguindo somando dessa forma at\u00e9 50 + 51, que tamb\u00e9m obtemos 101.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"somando\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Desse modo, somando os termos de dois em dois, teremos 50 parcelas nessa soma, e todas iguais a 101. Assim, a soma de todos os termos ser\u00e1 50 x 101 = 5.050.<\/p>\n

 <\/p>\n

Voc\u00eas devem estar se perguntando tamb\u00e9m: \u201cMas o que isso tem a ver com o nosso problema?\u201d Queremos descobrir a soma dos 50 termos da PA (50, 54, 58, …, 238, 242, 246), n\u00e3o \u00e9 mesmo? Ent\u00e3o l\u00e1 vai:<\/p>\n

 <\/p>\n

Somando 50 + 246, obtemos 296, Se somarmos, 54 + 242, obtemos 296. O mesmo ocorre somando 58 + 238. Assim, somando de dois em dois termos, os 50 termos da PA se tornar\u00e3o 25 parcelas iguais a 296. Portanto, a soma ser\u00e1 25 x 296 = 7.400.<\/p>\n

 <\/p>\n

De um modo geral, a soma dos n primeiros termos de uma PA \u00e9 dada pela express\u00e3o:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"parcelas\"<\/p>\n

 <\/p>\n

E essas ideias todas vieram \u00e0 mente de Gauss com apenas 10 aninhos de idade.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"mente-gauss\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Bem, \u00e9 isso, galerinha! Lembrem-se de que quest\u00f5es de progress\u00e3o aritm\u00e9tica e sequ\u00eancias aparecem com uma frequ\u00eancia relevante nas provas do ENEM, al\u00e9m de serem \u00fateis em alguns outros assuntos de Matem\u00e1tica como Fun\u00e7\u00e3o de 1\u00ba grau, por exemplo, bem como alguns assuntos de F\u00edsica.<\/p>\n

 <\/p>\n

Ahh, 77 + 33 \u00e9 igual a 110, ok? \ud83d\ude48<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Salve, salve, galerinha linda do EXQUAD! O tema de hoje do nosso blog \u00e9 sequ\u00eancias e progress\u00e3o aritm\u00e9tica. Quer aprender de vez este assunto? Ent\u00e3o cola gente que \u00e9 sucesso, bbs! Ent\u00e3o, chuchus, uma sequ\u00eancia pode ser definida na Matem\u00e1tica como uma fun\u00e7\u00e3o em que seu dom\u00ednio \u00e9 o conjunto N*, dos naturais n\u00e3o nulos. […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":8543,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[43,55],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8541"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8541"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8541\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":20277,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8541\/revisions\/20277"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/media\/8543"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8541"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8541"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8541"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}