{"id":2790,"date":"2019-07-10T17:06:37","date_gmt":"2019-07-10T20:06:37","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/?p=2790"},"modified":"2023-10-30T11:50:18","modified_gmt":"2023-10-30T14:50:18","slug":"enem-geometria-semelhanca-triangulos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/matematica\/enem-geometria-semelhanca-triangulos","title":{"rendered":"Enem 2019: Geometria Plana parte 1 \u2013 Semelhan\u00e7a de Tri\u00e2ngulos"},"content":{"rendered":"

Voc\u00ea j\u00e1 percebeu que por conta da proximidade do Enem 2019, n\u00f3s come\u00e7amos uma s\u00e9rie que mostra alguns dos conte\u00fados de v\u00e1rias disciplinas que s\u00e3o frequentemente cobrados tanto no Enem como em vestibulares Brasil a fora.<\/p>\n

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Hoje falaremos sobre geometria plana. Se, ao ver uma quest\u00e3o sobre este assunto voc\u00ea fica perdidinho (a), fazendo contas, pensando nas f\u00f3rmulas, nas dicas e etc, o conte\u00fado que trazemos aqui pode ser \u00fatil para resolver os problemas com mais facilidade.<\/p>\n

 <\/p>\n

Semelhan\u00e7a de Pol\u00edgonos<\/strong><\/h2>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Dizemos que dois pol\u00edgonos s\u00e3o semelhantes quando possu\u00edrem os \u00e2ngulos iguais e os lados proporcionais. Podemos dizer ainda, de maneira mais informal, que dois pol\u00edgonos s\u00e3o semelhantes quando possu\u00edrem a mesma forma.<\/p>\n

 <\/p>\n

Vamos a alguns exemplos:<\/p>\n

 <\/p>\n

Na figura a seguir, os lados dos quadril\u00e1teros ABCD s\u00e3o o dobro dos lados do quadril\u00e1tero A\u2019B\u2019C\u2019D\u2019, ou seja, tais lados s\u00e3o proporcionais. Perceba que isso n\u00e3o garante que esses quadril\u00e1teros sejam semelhantes, para que isso ocorra \u00e9 necess\u00e1rio que os \u00e2ngulos tenham a mesma medida, ou seja A=A’, B=B’, C=C’ e D=D’<\/strong>.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Nessa outra figura a seguir, al\u00e9m dos lados serem proporcionais, a figura j\u00e1 informa que os \u00e2ngulos t\u00eam a mesma medida.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Para saber se os lados s\u00e3o proporcionais, basta dividir os lados de um pol\u00edgono pelos lados correspondentes do outro pol\u00edgono. Caso essas divis\u00f5es resultem no mesmo valor, os lados s\u00e3o proporcionais. No exemplo anterior temos que:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Esse resultado das divis\u00f5es \u00e9 a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a<\/em><\/strong> entre os pol\u00edgonos e representaremos por k<\/em><\/strong>.<\/p>\n

 <\/p>\n

Os lados proporcionais, correspondentes nos dois pol\u00edgonos, s\u00e3o chamados de lados hom\u00f3logos<\/em><\/strong>. Nas duas figuras anteriores, os dois pol\u00edgonos n\u00e3o apresentam uma rota\u00e7\u00e3o uma em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 outra, isso facilita a identifica\u00e7\u00e3o dos lados hom\u00f3logos.<\/p>\n

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Sendo a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a entre os lados um valor k, a raz\u00e3o entre os per\u00edmetros tamb\u00e9m ser\u00e1 igual a k<\/em><\/strong> e a raz\u00e3o entre as \u00e1reas ser\u00e1 igual a k2<\/sup>.\u00a0<\/strong><\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos<\/strong><\/h2>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Se dois tri\u00e2ngulos possuem os \u00e2ngulos iguais ou os lados proporcionais, temos a certeza de que eles s\u00e3o semelhantes. Note que isso difere para o caso dos demais pol\u00edgonos quando era preciso verificar as duas condi\u00e7\u00f5es para garantir que as figuras eram semelhantes (\u00e2ngulos iguais E<\/em><\/strong> lados proporcionais). A seguir estudaremos os casos de semelhan\u00e7a.<\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Semelhan\u00e7a \u00e2ngulo, \u00e2ngulo (A.A.)<\/strong><\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Se dois tri\u00e2ngulos possuem dois \u00e2ngulos internos iguais, tamb\u00e9m ter\u00e3o os terceiros \u00e2ngulos internos iguais e ser\u00e3o, portanto, semelhantes.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Dessa forma, percebendo que os tri\u00e2ngulos ABC<\/em><\/strong> e DEF<\/em><\/strong> possuem os mesmos \u00e2ngulos internos, conclu\u00edmos que eles s\u00e3o semelhantes e, portanto, seus lados opostos ao mesmo \u00e2ngulo s\u00e3o proporcionais. Assim, podemos garantir que:<\/p>\n

\u00a0<\/strong>\u00a0<\/strong><\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

\u00a0<\/strong>Semelhan\u00e7a lado, lado, lado (L.L.L.)<\/strong><\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Dois tri\u00e2ngulos que possuem os tr\u00eas lados proporcionais s\u00e3o semelhantes.<\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Ex:<\/strong><\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Os tri\u00e2ngulos FGH<\/em><\/strong> e JKL<\/em><\/strong> s\u00e3o semelhantes, pois 33\/22 = 21\/14 =27\/18 = 3\/2, onde 3\/2 \u00e9 a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a. Dessa forma, como os tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes, podemos dizer que os \u00e2ngulos correspondentes s\u00e3o iguais, ou seja:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Semelhan\u00e7a lado, \u00e2ngulo, lado (L.A.L.)<\/strong><\/p>\n

 <\/p>\n

\u00a0<\/strong>Dois tri\u00e2ngulos que possuem dois lados proporcionais e o \u00e2ngulo formado entre eles igual s\u00e3o semelhantes.<\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Ex:<\/strong><\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Os tri\u00e2ngulos ABC<\/em><\/strong> e DEF<\/em><\/strong> s\u00e3o semelhantes pois 8\/4 = 10\/5 = 2, em que 2 \u00e9 a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a e, al\u00e9m disso, o \u00e2ngulo<\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

Ainda podemos concluir que:<\/p>\n

\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

 <\/p>\n

Congru\u00eancia de Tri\u00e2ngulos<\/h2>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Dizemos que dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes quando a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a entre seus lados for k=1. Dessa forma, tanto os \u00e2ngulos, quanto os lados passam a ter a mesma medida (congruentes).<\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Ex:<\/strong>\"ilustra\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Podemos garantir que dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes, isto \u00e9, possuem os lados e \u00e2ngulos de mesma medida em cada um dos casos listados a seguir:<\/p>\n

 <\/p>\n

    \n
  1. \u00a0<\/strong>Os tri\u00e2ngulos possuem os tr\u00eas lados congruentes (Caso L.L.L.)<\/strong><\/li>\n
  2. Os tri\u00e2ngulos possuem dois lados congruentes e o \u00e2ngulo formado entre eles tamb\u00e9m congruente. (Caso L.A.L.)<\/strong><\/li>\n
  3. Os tri\u00e2ngulos possuem dois \u00e2ngulos congruentes e o lado compreendido entre eles tamb\u00e9m congruente. (Caso A.L.A.)<\/strong><\/li>\n
  4. Os tri\u00e2ngulos possuem um lado congruente e um \u00e2ngulo adjacente e um \u00e2ngulo oposto a ele tamb\u00e9m congruentes. (Caso L.A.Ao<\/sub>.)<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n

    \u00a0<\/strong><\/p>\n

    \u00a0<\/strong>N\u00e3o esque\u00e7a que<\/strong> n\u00e3o h\u00e1 um caso que a garanta a congru\u00eancia quando dois tri\u00e2ngulos possuem os tr\u00eas \u00e2ngulos congruentes. Nesse caso, apenas a semelhan\u00e7a \u00e9 garantida.<\/p>\n

    \u00a0<\/strong><\/p>\n

    Base m\u00e9dia de um Tri\u00e2ngulo\u00a0<\/strong><\/h2>\n

    \u00a0<\/strong><\/h2>\n

    Considere o tri\u00e2ngulo ABC<\/em><\/strong> e os pontos m\u00e9dios M<\/em><\/strong> e N<\/em><\/strong> dos lados AB e BC, respectivamente.<\/p>\n

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    \"ilustra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

     <\/p>\n

    Os tri\u00e2ngulos ABC<\/em><\/strong> e AMN<\/em><\/strong> s\u00e3o semelhantes pelo caso L.A.L. com raz\u00e3o de semelhan\u00e7a k=1\/2. Dessa forma, MN<\/em><\/strong> mede metade de BC<\/em><\/strong> e tamb\u00e9m MN \/\/ BC<\/em><\/strong>.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Ufa! Parece dif\u00edcil, mas n\u00e3o \u00e9! Na pr\u00f3xima postagem da s\u00e9rie Enem 2019, falaremos sobre o Teorema de Tales.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Voc\u00ea j\u00e1 percebeu que por conta da proximidade do Enem 2019, n\u00f3s come\u00e7amos uma s\u00e9rie que mostra alguns dos conte\u00fados de v\u00e1rias disciplinas que s\u00e3o frequentemente cobrados tanto no Enem como em vestibulares Brasil a fora. Hoje falaremos sobre geometria plana. Se, ao ver uma quest\u00e3o sobre este assunto voc\u00ea fica perdidinho (a), fazendo contas, […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":2808,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[55],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2790"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2790"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2790\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":20623,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2790\/revisions\/20623"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2808"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2790"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2790"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.explicae.com.br\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2790"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}