Enem 2019: Geometria Plana parte 1 – Semelhança de Triângulos

Você já percebeu que por conta da proximidade do Enem 2019, nós começamos uma série que mostra alguns dos conteúdos de várias disciplinas que são frequentemente cobrados tanto no Enem como em vestibulares Brasil a fora.

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Hoje falaremos sobre geometria plana. Se, ao ver uma questão sobre este assunto você fica perdidinho (a), fazendo contas, pensando nas fórmulas, nas dicas e etc, o conteúdo que trazemos aqui pode ser útil para resolver os problemas com mais facilidade.

 

Semelhança de Polígonos

 

Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando possuírem os ângulos iguais e os lados proporcionais. Podemos dizer ainda, de maneira mais informal, que dois polígonos são semelhantes quando possuírem a mesma forma.

 

Vamos a alguns exemplos:

 

Na figura a seguir, os lados dos quadriláteros ABCD são o dobro dos lados do quadrilátero A’B’C’D’, ou seja, tais lados são proporcionais. Perceba que isso não garante que esses quadriláteros sejam semelhantes, para que isso ocorra é necessário que os ângulos tenham a mesma medida, ou seja A=A’, B=B’, C=C’ e D=D’.

 

ilustração matematica enem

 

Nessa outra figura a seguir, além dos lados serem proporcionais, a figura já informa que os ângulos têm a mesma medida.

 

ilustração matematica enem

 

Para saber se os lados são proporcionais, basta dividir os lados de um polígono pelos lados correspondentes do outro polígono. Caso essas divisões resultem no mesmo valor, os lados são proporcionais. No exemplo anterior temos que:

 

ilustração matematica enem

 

Esse resultado das divisões é a razão de semelhança entre os polígonos e representaremos por k.

 

Os lados proporcionais, correspondentes nos dois polígonos, são chamados de lados homólogos. Nas duas figuras anteriores, os dois polígonos não apresentam uma rotação uma em relação à outra, isso facilita a identificação dos lados homólogos.

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Sendo a razão de semelhança entre os lados um valor k, a razão entre os perímetros também será igual a k e a razão entre as áreas será igual a k2. 

 

ilustração matematica enem

 

Semelhança de triângulos

 

Se dois triângulos possuem os ângulos iguais ou os lados proporcionais, temos a certeza de que eles são semelhantes. Note que isso difere para o caso dos demais polígonos quando era preciso verificar as duas condições para garantir que as figuras eram semelhantes (ângulos iguais E lados proporcionais). A seguir estudaremos os casos de semelhança.

 

Semelhança ângulo, ângulo (A.A.)

 

Se dois triângulos possuem dois ângulos internos iguais, também terão os terceiros ângulos internos iguais e serão, portanto, semelhantes.

 

ilustração matematica enem

 

Dessa forma, percebendo que os triângulos ABC e DEF possuem os mesmos ângulos internos, concluímos que eles são semelhantes e, portanto, seus lados opostos ao mesmo ângulo são proporcionais. Assim, podemos garantir que:

  

ilustração matematica enem

 

 Semelhança lado, lado, lado (L.L.L.)

 

Dois triângulos que possuem os três lados proporcionais são semelhantes.

 

Ex:

ilustração matematica enem

 

Os triângulos FGH e JKL são semelhantes, pois 33/22 = 21/14 =27/18 = 3/2, onde 3/2 é a razão de semelhança. Dessa forma, como os triângulos são semelhantes, podemos dizer que os ângulos correspondentes são iguais, ou seja:

 

ilustração matematica enem

 

Semelhança lado, ângulo, lado (L.A.L.)

 

 Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e o ângulo formado entre eles igual são semelhantes.

 

Ex:

ilustração matematica enem

 

Os triângulos ABC e DEF são semelhantes pois 8/4 = 10/5 = 2, em que 2 é a razão de semelhança e, além disso, o ângulo

ilustração matematica enem

Ainda podemos concluir que:

ilustração matematica enem

 

Congruência de Triângulos

 

Dizemos que dois triângulos são congruentes quando a razão de semelhança entre seus lados for k=1. Dessa forma, tanto os ângulos, quanto os lados passam a ter a mesma medida (congruentes).

 

Ex:ilustração matematica enem

 

Podemos garantir que dois triângulos são congruentes, isto é, possuem os lados e ângulos de mesma medida em cada um dos casos listados a seguir:

 

  1.  Os triângulos possuem os três lados congruentes (Caso L.L.L.)
  2. Os triângulos possuem dois lados congruentes e o ângulo formado entre eles também congruente. (Caso L.A.L.)
  3. Os triângulos possuem dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles também congruente. (Caso A.L.A.)
  4. Os triângulos possuem um lado congruente e um ângulo adjacente e um ângulo oposto a ele também congruentes. (Caso L.A.Ao.)

 

 Não esqueça que não há um caso que a garanta a congruência quando dois triângulos possuem os três ângulos congruentes. Nesse caso, apenas a semelhança é garantida.

 

Base média de um Triângulo 

 

Considere o triângulo ABC e os pontos médios M e N dos lados AB e BC, respectivamente.

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ilustração matematica enem

 

Os triângulos ABC e AMN são semelhantes pelo caso L.A.L. com razão de semelhança k=1/2. Dessa forma, MN mede metade de BC e também MN // BC.

 

Ufa! Parece difícil, mas não é! Na próxima postagem da série Enem 2019, falaremos sobre o Teorema de Tales.

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